Skip to content

Commit c72abd2

Browse files
WoWasterWoWaster
committed
Restore all chapters to tree
1 parent b340a7e commit c72abd2

Some content is hidden

Large Commits have some content hidden by default. Use the searchbox below for content that may be hidden.

52 files changed

+8384
-0
lines changed

‎tex/CFPQ_to_Datalog.tex

Lines changed: 142 additions & 0 deletions
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -0,0 +1,142 @@
1+
\chapter{От CFPQ к вычислению Datalog-запросов}\label{Subsection Datalog}
2+
Рассмотрим грамматику $S \rightarrow aSb \mid SS \mid \varepsilon$, заданную через набор предикатов:
3+
\begin{itemize}
4+
\item $a(i, w)$ --- Предикат, соответствующий терминалу. Обращается в True, если на $i$-том месте в строке $w$ стоит символ $a$
5+
\item $S(i, j, w)$ --- Предикат, соответствующий нетерминалу. Обращается в True, если выполняется одно из условий:
6+
\begin{enumerate}
7+
\item $i == j \quad(\varepsilon)$
8+
\item $\exists k: i \leq k \leq j \And S(i, k - 1, w) \And S(k, j, w) \quad (SS)$
9+
\item ${a(i, w) \And S(i+1, j-1, w) \And b(j-1, w)} \quad (aSb)$
10+
\end{enumerate}
11+
\end{itemize}
12+
13+
Таким образом $S(0,|w|,w)$ покажет, выводится ли строка $w$ из данной грамматики,
14+
а $S(\_,\_,w)$ даст нам список всех цепочек внутри $w$, выводящихся из $S$.
15+
16+
\subsection{Datalog}
17+
Datalog~\cite{Datalog}\footnote{\url{https://www.computer.org/csdl/journal/tk/1989/01/k0146/13rRUx0xPIQ}} --- декларативный логический язык программирования. Используется для написания запросов к дедуктивным базам данных\footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Deductive_database}}.
18+
19+
\begin{example}
20+
Пример программы на даталоге.
21+
\begin{enumerate}
22+
\item Набор фактов (часто факты находятся в базе данных):
23+
\begin{itemize}
24+
\item $a(0).$
25+
\item $b(1).$
26+
\item $a(2).$
27+
\item $b(3).$
28+
\item $s(I, I).$
29+
\end{itemize}
30+
\item Набор правил:
31+
\begin{itemize}
32+
\item $s(I, J) \coloneq s(I, K-1), s(K,J), (I \leq K \leq J)$
33+
\item $s(I,J)\coloneq a(I), s(I+1, J-1),b(J)$
34+
\end{itemize}
35+
\item Запросы:
36+
\begin{itemize}
37+
\item $?- s(I, J)$
38+
\end{itemize}
39+
\end{enumerate}
40+
\end{example}
41+
42+
Таким образом мы описали на даталоге строку через набор фактов, грамматику, указанную выше, через набор фактов и правил и сделали запрос на все цепочки, выводящиеся из $S$.
43+
44+
\textbf{NB!} Обратите внимание~\cite{Datalog}, что строки, начинающиеся с большой буквы, в даталоге считаются переменными. Также важно, что все переменные неявно квантифицированны.
45+
46+
47+
\subsection{Datalog для работы с графами}
48+
На даталоге также можно задавать графы и писать к ним запросы.
49+
\begin{example}
50+
Пример описания графа на даталоге.
51+
\begin{center}
52+
\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto]
53+
\node[state] (q_0) {$0$};
54+
\node[state] (q_1) [above right=of q_0] {$1$};
55+
\node[state] (q_2) [right=of q_0] {$2$};
56+
\node[state] (q_3) [right=of q_2] {$3$};
57+
\path[->]
58+
(q_0) edge node {$a$} (q_1)
59+
(q_1) edge node {$a$} (q_2)
60+
(q_2) edge node {$a$} (q_0)
61+
(q_2) edge[bend left, above] node {$b$} (q_3)
62+
(q_3) edge[bend left, below] node {$b$} (q_2);
63+
\end{tikzpicture}
64+
\end{center}
65+
\begin{itemize}
66+
\item[] $a(0, 1).$
67+
\item[] $a(1, 2).$
68+
\item[] $a(2, 0).$
69+
\item[] $b(2, 3).$
70+
\item[] $b(3, 2).$
71+
\end{itemize}
72+
73+
\end{example}
74+
75+
Теперь зададим рассмотренную выше грамматику для работы с графом.
76+
\begin{itemize}
77+
\item[] $s(I, I).$
78+
\item[] $s(I,J) \coloneq s(I, K-1),s(K, J).$
79+
\item[] $s(I, J) \coloneq a(I, L),S(L,M),b(M,J).$
80+
\end{itemize}
81+
82+
Тогда запрос $?-s(I, J)$ выдаст нам все такие пути в графе, что последовательность составляющих их вершин в порядке прохождения выводится их грамматики.
83+
84+
\subsection{Алгоритм Эрли}
85+
Для распознавания контекстно-свободных грамматик может использоваться алгоритм Эрли~\cite{Earley} \footnote{\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Earley}}.
86+
Рассмотрим грамматику $G=(N,T,P,S)$, слово $a_1...a_n$,
87+
и правило $A \rightarrow \alpha\beta$. Будем считать, что утверждение
88+
$[A\rightarrow \alpha \bullet \beta](i,j), j \in [1..n]$ является истиной, если верно, что:
89+
\begin{itemize}
90+
\item $\alpha \xrightarrow{\smash{*}} a_{i+1}...a_j$ (Последовательность выводится из $\alpha$)
91+
\item $S \xrightarrow{\smash{*}} a_1...a_jA_\gamma$
92+
\end{itemize}
93+
94+
95+
Рассмотрим правила вывода для подобных утверждений:
96+
97+
\begin{enumerate}
98+
\item $\frac{S \rightarrow \alpha \in P}{[S \rightarrow \bullet \alpha](0,0)}$ Инициализация (Init)
99+
100+
\item $\frac{\left[A \rightarrow \alpha \bullet a_{j+1} \beta\right](i, j)}{\left[A \rightarrow \alpha a_{j+1} \bullet \beta\right](i, j+1)}$ Сканирование (Scan)
101+
102+
\item $\frac{[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta](i, j) \quad B \rightarrow \gamma \in P}{[B \rightarrow \bullet \gamma](j, j)}$ Предсказание (Predict)
103+
104+
\item $\frac{[A \rightarrow \alpha \cdot B](i, j) \quad[B \rightarrow \gamma \bullet](j, k)}{[A \rightarrow \alpha B \bullet \beta](i, k)}$ Завершение (Complete)
105+
106+
\end{enumerate}
107+
108+
Идея алгоритма Эрли заключается в том, чтобы, начиная с инициализации, используя правила, вывести утверждение, содержащие данную строку слева от точки, и ничего справа, или попробовать все возможные выводы и признать, что строка не выводима.
109+
110+
Сложность алгоритма Эрли составляет $O(|P|^2n^3)$
111+
112+
\begin{example} Пример начала одной из веток дерева вывода для алгоритма Эрли для рассматриваемой грамматики
113+
114+
$$\underline{S \rightarrow SS} \quad Init$$
115+
$$\underline{[S \rightarrow \bullet SS](0,0), \space S \rightarrow aSb} \quad Predict$$
116+
$$\underline{[S \rightarrow \bullet aSb](0,0)} \quad Scan$$
117+
$$\underline{[S \rightarrow a \bullet Sb](0,1), S \rightarrow \varepsilon} \quad Predict$$
118+
$$\underline{[S \rightarrow \bullet](0, 1), [S \rightarrow aS \bullet b](0,1)} \quad Complete$$
119+
$$\underline{[S \rightarrow aS \bullet b](0,1)} \quad Scan$$
120+
$$\underline{[S \rightarrow \bullet SS](0,0),[S \rightarrow aSb \bullet](0,2)} \quad Complete$$
121+
$$[\underline{S \rightarrow S \bullet S](0,2)}$$
122+
$$\cdot\cdot\cdot$$
123+
124+
\end{example}
125+
126+
Сложность можно понизить, изменив правила ``Предсказание'' и ``Завершение'' таким образом:
127+
\begin{itemize}
128+
\item $\frac{[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta](i, j) \quad B \rightarrow \gamma \in P}{[B \rightarrow \bullet \gamma](j, j)} \Rightarrow$ $
129+
\frac{[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta](i, j)}{? B(j)}; \quad \frac{? B(j) \quad B \rightarrow \gamma \in P}{[B \rightarrow \cdot \gamma](j, j)}$
130+
\item $\frac{[A \rightarrow \alpha \cdot B](i, j) \quad[B \rightarrow \gamma \bullet](j, k)}{[A \rightarrow \alpha B \bullet \beta](i, k)} \Rightarrow$ $\frac{[B \rightarrow \gamma \bullet](j, k)}{B(j, k)}; \quad \frac{[A \rightarrow \alpha \cdot B \beta](i, j) \quad B(j, k)}{[A \rightarrow \alpha B \cdot \beta](i, k)}$
131+
\end{itemize}
132+
Так, разложив каждое правило на два, мы избавляемся от необходимости перевычислять дерево разбора каждого нетерминала после того, как однократно вычислим, что он выводим (мемоизируем его). Получаем сложность $O(|P|)$.
133+
134+
Описанный подход мемоизации~\cite{Magic} части используется для оптимизации программ на даталоге. Можно либо видоизменять правила, задающие грамматику в тексте программы, либо модифицировать компилятор, чтобы он пытался сделать это автоматически.
135+
\section{Вопросы и задачи}
136+
\begin{enumerate}
137+
\item Написать синтаксический анализатор раз.
138+
\item Написать синтаксический анализатор два.
139+
\item Побаловаться с неоднозначными грамматиками
140+
\item Побаловаться с конъюнктивными грамматиками.
141+
\item Графы?
142+
\end{enumerate}

0 commit comments

Comments
 (0)