You signed in with another tab or window. Reload to refresh your session.You signed out in another tab or window. Reload to refresh your session.You switched accounts on another tab or window. Reload to refresh your session.Dismiss alert
Copy file name to clipboardExpand all lines: tex/LinearAlgebra.tex
+26-26Lines changed: 26 additions & 26 deletions
Original file line number
Diff line number
Diff line change
@@ -216,15 +216,15 @@ \section{Группа}
216
216
\begin{example}
217
217
Рассмотрим несколько примеров групп.
218
218
\begin{itemize}
219
-
\item Целые числа $\Z$ с операцией сложения $+$ являются группой.
219
+
\item Целые числа $\BbbZ$ с операцией сложения $+$ являются группой.
220
220
Получается дополнением моноида из предыдущего раздела обратными по сложению элементами.
221
-
\item Целые числа $\Z$ без нуля%
221
+
\item Целые числа $\BbbZ$ без нуля%
222
222
\sidenote{
223
223
При наличии нуля возникают трудности с нейтральным элементом.
224
224
Логично считать $1$ нейтральным по умножению, однако $0\cdot1 = 0$, а не 1, как того требует определение.}
225
225
с операцией умножения $\cdot$ не являются группой, так как нет обратных по умножению.
226
-
Действительно, возьмём $a = 3$, тогда должен существовать $a^{-1} \in\Z$, такой что $3\cdot a^{-1} = 1$.
227
-
Видим, что $a^{-1} = 1/3$, но $1/3\notin\Z$.
226
+
Действительно, возьмём $a = 3$, тогда должен существовать $a^{-1} \in\BbbZ$, такой что $3\cdot a^{-1} = 1$.
227
+
Видим, что $a^{-1} = 1/3$, но $1/3\notin\BbbZ$.
228
228
\item Множество обратимых%
229
229
\sidenote{
230
230
Квадратная матрица $M$ называется обратимой, если существует матрица $N$, называемая обратной, такая что $M \cdot N = N \cdot M = I$, где $I$~--- единичная матрица.
@@ -238,25 +238,25 @@ \section{Полукольцо}
238
238
\begin{definition}[Полукольцо]
239
239
Непустое множество $R$ с двумя бинарными операциями $\oplus: R \times R \to R$ (часто называют сложением) и $\otimes: R \times R \to R$ (часто называют умножением) называется \emph{полукольцом}, если выполнены следующие условия.
240
240
\begin{enumerate}
241
-
\item$(R, \oplus)$~--- это коммутативный моноид, нейтральный элемент которого~--- $\bz$. Для любых $a, b, c \in R$:
241
+
\item$(R, \oplus)$~--- это коммутативный моноид, нейтральный элемент которого~--- $\Bbbzero$. Для любых $a, b, c \in R$:
242
242
\begin{itemize}
243
243
\item$(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$
244
-
\item$\bz\oplus a = a \oplus\bz = a$
244
+
\item$\Bbbzero\oplus a = a \oplus\Bbbzero = a$
245
245
\item$a \oplus b = b \oplus a$
246
246
\end{itemize}
247
-
\item$(R, \otimes)$~--- это моноид, нейтральный элемент которого~--- $\bo$. Для любых $a, b, c \in R$:
247
+
\item$(R, \otimes)$~--- это моноид, нейтральный элемент которого~--- $\Bbbzero$. Для любых $a, b, c \in R$:
248
248
\begin{itemize}
249
249
\item$(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$
250
-
\item$\bo\otimes a = a \otimes\bo = a$
250
+
\item$\Bbbzero\otimes a = a \otimes\Bbbzero = a$
251
251
\end{itemize}
252
252
\item$\otimes$ дистрибутивно слева и справа относительно $\oplus$:
253
253
\begin{itemize}
254
254
\item$a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c)$
255
255
\item$(a \oplus b) \otimes c = (a \otimes c) \oplus (b \otimes c)$
256
256
\end{itemize}
257
-
\item$\bz$ является \emph{аннигилятором} по умножению:
257
+
\item$\Bbbzero$ является \emph{аннигилятором} по умножению:
258
258
\begin{itemize}
259
-
\item для любых $a \in R$ выполнено $\bz\otimes a = a \otimes\bz = \bz$
259
+
\item для любых $a \in R$ выполнено $\Bbbzero\otimes a = a \otimes\Bbbzero = \Bbbzero$
260
260
\end{itemize}
261
261
\end{enumerate}
262
262
Если операция $\otimes$ коммутативна, то говорят о \emph{коммутативном полукольце}.
@@ -321,20 +321,20 @@ \section{Кольцо}
321
321
\begin{definition}[Кольцо]
322
322
Непустое множество $R$ с двумя бинарными операциями $\oplus: R \times R \to R$ (умножение) и $\otimes: R \times R \to R$ (сложение) называется \emph{кольцом}, если выполнены следующие условия.
323
323
\begin{enumerate}
324
-
\item$(R, \oplus)$~--- это абелева группа, нейтральный элемент которой~--- $\bz$.
324
+
\item$(R, \oplus)$~--- это абелева группа, нейтральный элемент которой~--- $\Bbbzero$.
325
325
Для любых $a, b, c \in R$:
326
326
\begin{itemize}
327
327
\item$(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$
328
-
\item$\bz\oplus a = a \oplus\bz = a$
328
+
\item$\Bbbzero\oplus a = a \oplus\Bbbzero = a$
329
329
\item$a \oplus b = b \oplus a$
330
-
\item для любого $a \in R$ существует $-a \in R$, такой что $a + (-a) = \bz$.
330
+
\item для любого $a \in R$ существует $-a \in R$, такой что $a + (-a) = \Bbbzero$.
331
331
\end{itemize}
332
332
В последнем пункте кроется отличие от полукольца.
333
-
\item$(R, \otimes)$~--- это моноид, нейтральный элемент которого~--- $\bo$.
333
+
\item$(R, \otimes)$~--- это моноид, нейтральный элемент которого~--- $\Bbbzero$.
334
334
Для любых $a, b, c \in R$:
335
335
\begin{itemize}
336
336
\item$(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$
337
-
\item$\bo\otimes a = a \otimes\bo = a$
337
+
\item$\Bbbzero\otimes a = a \otimes\Bbbzero = a$
338
338
\end{itemize}
339
339
\item$\otimes$ дистрибутивно слева и справа относительно $\oplus$:
340
340
\begin{itemize}
@@ -344,24 +344,24 @@ \section{Кольцо}
344
344
\end{enumerate}
345
345
\end{definition}
346
346
347
-
Заметим, что мультипликативное свойство $\bz$ (быть аннигилятором по умножению) не указыватеся явно, так как может быть выведено из остальных утверждений.
347
+
Заметим, что мультипликативное свойство $\Bbbzero$ (быть аннигилятором по умножению) не указыватеся явно, так как может быть выведено из остальных утверждений.
348
348
Действительно,
349
349
\begin{enumerate}
350
-
\item$a \otimes\bz = a \otimes (\bz\oplus\bz)$, так как $\bz$~--- нейтральный по сложению, то $\bz\oplus\bz = \bz$
351
-
\item Воспользуемся дистрибутивностью: $a \otimes (\bz\oplus\bz) = a \otimes\bz\oplus a \otimes\bz$.
352
-
В итоге: $a \otimes\bz = a \otimes\bz\oplus a \otimes\bz$
353
-
\item Так как у нас есть группа по сложению, то для любого $a$ существует обратный элемент $a^{-1}$, $a \oplus a^{-1} = \bz$.
354
-
Прибавим $a^{-1} \otimes\bz$ к левой и правой части равенства%
350
+
\item$a \otimes\Bbbzero = a \otimes (\Bbbzero\oplus\Bbbzero)$, так как $\Bbbzero$~--- нейтральный по сложению, то $\Bbbzero\oplus\Bbbzero = \Bbbzero$
351
+
\item Воспользуемся дистрибутивностью: $a \otimes (\Bbbzero\oplus\Bbbzero) = a \otimes\Bbbzero\oplus a \otimes\Bbbzero$.
352
+
В итоге: $a \otimes\Bbbzero = a \otimes\Bbbzero\oplus a \otimes\Bbbzero$
353
+
\item Так как у нас есть группа по сложению, то для любого $a$ существует обратный элемент $a^{-1}$, $a \oplus a^{-1} = \Bbbzero$.
354
+
Прибавим $a^{-1} \otimes\Bbbzero$ к левой и правой части равенства%
355
355
\sidenote{Обычно данное действие воспринимается как очевидное, но, строго говоря, оно требует аккуратного введения структур с равенством и соответствующих аксиом.}%
356
356
, полученного на предыдущем шаге:
357
-
\[a \otimes\bz\oplus a^{-1} \otimes\bz = a \otimes\bz\oplus a \otimes\bz\oplus a^{-1} \otimes\bz.\]
357
+
\[a \otimes\Bbbzero\oplus a^{-1} \otimes\Bbbzero = a \otimes\Bbbzero\oplus a \otimes\Bbbzero\oplus a^{-1} \otimes\Bbbzero.\]
358
358
\item Воспользуемся дистрибутивностью и ассоциативностью.
359
359
\begin{align*}
360
-
(a \oplus a^{-1}) \otimes\bz & = a \otimes\bz\oplus (a \oplus a^{-1}) \otimes\bz\\
361
-
\bz\otimes\bz& = a \otimes\bz\oplus\bz\otimes\bz\\
362
-
\bz & = a \otimes\bz
360
+
(a \oplus a^{-1}) \otimes\Bbbzero & = a \otimes\Bbbzero\oplus (a \oplus a^{-1}) \otimes\Bbbzero\\
361
+
\Bbbzero\otimes\Bbbzero & = a \otimes\Bbbzero\oplus\Bbbzero\otimes\Bbbzero\\
362
+
\Bbbzero & = a \otimes\Bbbzero
363
363
\end{align*}
364
-
\item Аналогично можно доказать, что $\bz = \bz\otimes a$.
364
+
\item Аналогично можно доказать, что $\Bbbzero = \Bbbzero\otimes a$.
0 commit comments