Разделы по линейной алгебре и графам

tex/CYK_for_CFPQ.tex

@@ -6,33 +6,31 @@ \chapter{CYK для вычисления КС запросов}\label{chpt:CFPQ_
 
 \section{Алгоритм CYK}\label{sect:lin_CYK}
 
-Алгоритм CYK (Cocke-Younger-Kasami) --- один из классических алгоритмов синтаксического анализа. Его асимптотическая сложность в худшем случае --- $O(n^3 * |N|)$, где $n$ --- длина входной строки, а $N$ --- количество нетерминалов во входной граммтике~\cite{Hopcroft+Ullman/79/Introduction}.
+Алгоритм CYK (Cocke-Younger-Kasami) --- один из классических алгоритмов синтаксического анализа. Его асимптотическая сложность в худшем случае --- $O(n^3 * |N|)$, где $n$ --- длина входной строки, а $N$ --- количество нетерминалов во входной грамматике~\cite{Hopcroft+Ullman/79/Introduction}.
 
-Для его применения необходимо, чтобы подаваемая на вход грамматика находилась в Нормальной Форме Хомского (НФХ)~\ref{section:CNF}. Других ограничений нет и, следовательно,данный алгоритм применим для работы с произвольными контекстно-своболными языками.
+Для его применения необходимо, чтобы подаваемая на вход грамматика находилась в Нормальной Форме Хомского (НФХ)~\ref{section:CNF}. Других ограничений нет и, следовательно, данный алгоритм применим для работы с произвольными контекстно-своболными языками.
 
 В основе алгоритма лежит принцип динамического программирования. Используются два соображения:
 
 \begin{enumerate}
-\item Для правила вида $A \to a$ очевидно, что из $A$ выводится $\omega$ (с применением этого правила) тогда и только тогда, когда $a = \omega$:
-
+\item Из нетерминала $A$ выводится цепочка $\omega$ при помощи правила $A \to a$ тогда и только тогда, когда $a= \omega$:
 \[
   A \derives \omega \iff \omega = a
 \]
 
-\item Для правила вида $A \to B C$ понятно, что из $A$ выводится $\omega$ (с применением этого правила) тогда и только тогда, когда существуют две цепочки $\omega_1$ и $\omega_2$ такие, что $\omega_1$ выводима из $B$, $\omega_2$ выводима из $C$ и при этом $\omega = \omega_1 \omega_2$:
-
+\item Из нетерминала $A$ выводится цепочка $\omega$ при помощи правила $A \to B C$ тогда и только тогда, когда существуют две цепочки $\omega_1$ и $\omega_2$ такие, что $\omega_1$ выводима из $B$, $\omega_2$ выводима из $C$ и при этом $\omega = \omega_1 \omega_2$:
 \[
 A \derives[] B C \derives \omega \iff \exists \omega_1, \omega_2 : \omega = \omega_1 \omega_2, B \derives \omega_1, C \derives \omega_2
 \]
 
-Или в терминах позиций в строке:
-
+Переформулируем эти утверждения в терминах позиций в строке:
 \[
 A \derives[] B C \derives \omega \iff \exists k \in [1 \dots |\omega|] : B \derives \omega[1 \dots k], C \derives \omega[k+1 \dots |\omega|]
 \]
 \end{enumerate}
 
-В процессе работы алгоритма заполняется булева трехмерная матрица $M$ размера $n \times n \times  |N|$ таким образом, что $$M[i, j, A] = true \iff A \derives \omega[i \dots j]$$.
+В процессе работы алгоритма заполняется булева трехмерная матрица $M$ размера $n \times n \times  |N|$ таким образом, что
+\[M[i, j, A] = true \iff A \derives \omega[i \dots j]\].
 
 Первым шагом инициализируем матрицу, заполнив значения $M[i, i, A]$:
 
@@ -43,7 +41,6 @@ \section{Алгоритм CYK}\label{sect:lin_CYK}
 
 Далее используем динамику: на шаге $m > 1$ предполагаем, что ячейки матрицы $M[i', j', A]$ заполнены для всех нетерминалов $A$ и пар $i', j': j' - i' < m$.
 Тогда можно заполнить ячейки матрицы $M[i, j, A] \text{, где } j - i = m$ следующим образом:
-
 \[ M[i, j, A] = \bigvee_{A \to B C}^{}{\bigvee_{k=i}^{j-1}{M[i, k, B] \wedge M[k, j, C]}} \]
 
 По итогу работы алгоритма значение в ячейке $M[0, |\omega|, S]$, где $S$ --- стартовый нетерминал грамматики, отвечает на вопрос о выводимости цепочки $\omega$ в грамматике.
@@ -239,7 +236,7 @@ \section{Алгоритм для графов на основе CYK}
 \begin{itemize}
 \item Как и раньше, с помощью продукций вида \[A \to a \text{, где } A \in N, a \in \Sigma\]
 заменяем терминалы на ребрах входного графа на множества нетерминалов, из которых они выводятся.
-\item  Добавляем в каждую вершину петлю, помеченную множеством нетерминалов для которых в данной граммтике есть правила вида $$A \to \varepsilon\text{, где } A \in N.$$
+\item  Добавляем в каждую вершину петлю, помеченную множеством нетерминалов для которых в данной грамматике есть правила вида $$A \to \varepsilon\text{, где } A \in N.$$
 \end{itemize}
 
  Затем используем матрицу смежности получившегося графа (обозначим ее $M$) в качестве начального значения. Дальнейший ход алгоритма можно описать псевдокодом, представленным в листинге~\ref{alg:graphParseCYK}.
@@ -271,7 +268,7 @@ \section{Алгоритм для графов на основе CYK}
     \end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-После завершения алгоритма, если в некоторой ячейке результируюшей матрицы с номером $(i, j)$ находятся стартовый нетерминал, то это означает, что существует путь из вершины $i$ в вершину $j$, удовлетворяющий данной грамматике. Таким образом, полученная матрица является ответом для задачи достижимости для заданных графа и граммтики.
+После завершения алгоритма, если в некоторой ячейке результируюшей матрицы с номером $(i, j)$ находятся стартовый нетерминал, то это означает, что существует путь из вершины $i$ в вершину $j$, удовлетворяющий данной грамматике. Таким образом, полученная матрица является ответом для задачи достижимости для заданных графа и грамматики.
 
 \begin{example}
 \label{CYK_algorithm_ex}
@@ -474,12 +471,12 @@ \section{Алгоритм для графов на основе CYK}
   m = r = \{(A,0,1),(A,1,2),(A,2,0),(B,2,3),(B,3,2)\}
   $$
 
-  \textbf{Итерации внешнего цикла.} Будем считеть, что $r$ и $m$ --- упорядоченные списки и $pick$ возврпщает его голову, оставляя хвост.
+  \textbf{Итерации внешнего цикла.} Будем считеть, что $r$ и $m$ --- упорядоченные списки и $pick$ возвращает его голову, оставляя хвост.
   Новые элементы добавляются в конец.
   \begin{enumerate}
   \item Обрабатываем $(A,0,1)$.
   Ни один из вложенных циклов не найдёт новых путей, так как для рассматриваемого ребра есть только две возможности достроить путь: $2 \xrightarrow{A} 0 \xrightarrow{A} 1$ и $0 \xrightarrow{A} 1 \xrightarrow{A} 2$
-  и ни одна из соответствующих строк не выводтся в заданной граммтике.
+  и ни одна из соответствующих строк не выводтся в заданной грамматике.
   \item Перед началом итерации
      $$
      m = \{(A,1,2),(A,2,0),(B,2,3),(B,3,2)\},