La Bourse est un marché organisé où s'échangent des actifs financiers, comme des actions (parts d'entreprises) ,des obligations (dettes d'entreprises ou d’États),des ETF (fonds d'investissement) et d'autres produits financiers (options, futures…).
Une action est une part de propriété dans une entreprise cotée en Bourse. En achetant une action on peut toucher des dividendes de la part de l'entreprise ou bien revendre l’action quand son prix monte (gain en capital).
Le prix d'une action correspond au dernier prix auquel elle a été échangée sur le marché.
Par exemple, si une action est vendue à 20 $, on considère que son prix est de 20 $. Si la transaction suivante se fait à 18 $, alors le nouveau prix affiché sera 18 $.
Ainsi, le cours évolue en temps réel en fonction de l'offre et de la demande.
Il monte si beaucoup d’investisseurs veulent acheter, et il baisse s’ils veulent vendre. Parmi les facteurs influents on trouve les résultats financiers de l'entreprise, les causes économiques comme l'inflation ou des facteurs psychologique comme l'euphorie collective.
Le cours d'ouverture est le prix de l'action à l'ouverture du marché et le cours de clôture celui à la fin de la séance.
Le volume est le nombre d’actions échangées.
La volatilité est l'amplitude des variations de prix.
La capitalisation boursière est la valeur totale de l’entreprise (nombre d’actions × prix d’une action).
Un indicateur technique est un outil mathématique basé sur les prix passés d’un actif. Il aide à mieux anticiper les mouvements futurs. Ils sont calculés à partir des données OHLC (Open, High, Low, Close).
RSI = 100 - [100 / (1 + RS)], avec RS = Moyenne des gains sur n jours / Moyenne des pertes sur n jours
Par défaut, n = 14 jours.
Si RSI > 70 : l’actif est considéré comme suracheté (le marché est allé trop loin trop vite -->risque de correction)
Si RSI < 30 : l’actif est considéré comme survendu (le prix est trop bas par rapport à sa vraie valeur --> possibilité de rebond)
Par exemple pour calculer le RSI sur 5 jours:
Soit les prix de clôture suivants sur 5 jours
| Jour | Prix de clôture | Variation | Gain | Perte |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 100 | — | — | — |
| 2 | 102 | +2 | 2 | 0 |
| 3 | 101 | -1 | 0 | 1 |
| 4 | 103 | +2 | 2 | 0 |
| 5 | 104 | +1 | 1 | 0 |
- Moyenne des gains = (2 + 0 + 2 + 1) / 4 = 1.25
- Moyenne des pertes = (0 + 1 + 0 + 0) / 4 = 0.25
On calcule : RS = 1.25 / 0.25 = 5 RSI = 100 - (100 / (1 + 5)) = 100 - (100 / 6) ≈ 83.33
La MACD est simplement la différence entre deux Moyennes Mobiles Exponentielles de périodes différentes. On emploie couramment les périodes de 12 et 26 jours pour ces MME. MACD=EMA_12−EMA_26 L’EMA réagit plus rapidement aux changements récents que la moyenne simple
EMA_t=α×Prix_t+(1−α)×EMA_t−1 ou α=2/n+1
La ligne signal est la EMA sur 9 jours de la ligne MACD
Quand la ligne MACD croise la ligne Signal vers le haut → c’est un signal d’achat
Quand la ligne MACD croise la ligne Signal vers le bas → c’est un signal de vente
Exemple :
| Jour | MACD | Signal | Interprétation |
|---|---|---|---|
| 1 | -0.5 | -0.6 | MACD < Signal, pas d’achat |
| 2 | +0.7 | -0.1 | MACD croise au-dessus Signal → signal d’achat |
Le modèle d'évaluation des actifs financiers est un modèle financier qui sert à estimer le rendement qu'on devrait attendre d’un investissement risqué.
Rendement attendu de l’action=R_f+β×(R_m−R_f) ou R_f le taux sans risque (le rendement minimal qu’un investisseur peut obtenir sans prendre de risque ex. obligations d’État), R_m le taux attendu du marché (ex. SnP 500) , β risque de l'action par rapport au marché , il mesure combien une action bouge par rapport au marché si (β>1) plus volatile que le marché sinon moins volatile .
Si une action est plus risquée (β > 1), alors les investisseurs veulent un rendement plus élevé pour accepter ce risque.
Exemple Apple (AAPL) vs S&P 500: Avec une régression linéaire entre le rendement quotidien (la variation en pourcentage du prix d’une action entre deux jours consécutifs) entre AAPL et S&P 500 on trouve le beta de AAPL (β=1.2) et un rendement attendu d'Apple selon le MEDAF de 11.11%
Dans le projet on exploiter ça en incluant le Bêta comme une feature,ou bien utiliser le rendement attendu comme benchmark.
La méthode de simulation de Monte-Carlo permet aussi d'introduire une approche statistique du risque dans une décision financière. Elle consiste à isoler des variables clés du projet, telles que le chiffre d'affaires ou la marge, et à leur affecter une loi de probabilités. Pour chacun de ces facteurs, un grand nombre de tirages aléatoires, suivant les lois de probabilité déterminées précédemment, est effectué, afin de trouver la probabilité d'occurrence de chacun des résultats
De manière générale, le problème que l'on cherche à résoudre par les méthodes de Monte-Carlo est celui de l'estimation de l'espérance d'une variable aléatoire X.
La méthode de Monte-Carlo la plus simple consiste à générer un échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) X.
Ensuite on estime l'espérance avec l'estimateur de la moyenne empirique.
Ce modèle Applique le GBM(Mouvement Brownien Géométrique) pour calculer le prix d’une option .
On suppose que le prix d'une action évolue selon une formule stochastique dSt=μStdt+σStdWt ou St le prix actuel ,μ le rendement moyen (MEDAF) ,σ la volatilité ,dWt la variation infinitésimale d'un mouvement brownien(Il modélise les fluctuations aléatoires du marché).
En finance, on suppose que les mouvements aléatoires du prix suivent une loi normale avec moyenne 0 et variance qui grandit dans le temps donc dWt suit une loi normale centrée de variance dt.
En discret cela donne : St+1=St*exp( (μ− σ²/2)Δt + σsqrt(Δt)*Z ou Z tiré d'une loi normale et Δt la fraction du temps (ex : 1 jour = 1/252 en bourse)
En recommencant 1000 fois avec des Z différents , on obtient 1000 scénarios possibles dont on calculera la moyenne empirique .On aura donc fait une simulation de Monte Carlo basée sur le GBM.
Le modèle ARIMA permet de modéliser et de prédire les valeurs futures d'une série.
En finance, les prix ne sont pas stationnaires . Mais leurs rendements sont souvent stationnaires.
En différenciant les séries temporelles, il est possible de retirer les tendances qu’elles présentent pour les stationnariser. → Cela permet d’appliquer ARIMA, qui suppose une série stationnaire
Un ARIMA(p, d, q) a 3 paramètres :
-d Nombre de différenciations pour rendre la série stationnaire : exemple si d=2 on fait une double differenciation Yt = (X_t-X_t-1) - (X_t-1 - X_t-2)
-p Nombre de retards sur les valeurs passées (Auto-Régressif), on prédit le rendement futur en fonction des p rendements précédents : Exemple si p=2 on a Y_t = a1Y_t-1 + a2Y_t-2
-q Nombre de retards sur les erreurs (Moyenne mobile) : Exemple avec q=1 on fait Y_t = b1 + b2*epsilon_t-1 + epsilon_t avec epsilon une serie de bruit aléatoire.
Le modèle GARCH est un outil statistique principalement pour modéliser et prévoir la volatilité des séries temporelles. Il est particulièrement utile car il prend en compte le fait que la volatilité des rendements varie dans le temps, ce que les modèles classiques ne font pas.
Structure du modèle GARCH(p,q):
On suppose une série de rendements 𝑟_t modélisée par : r_t=μ+ϵ_t ou ϵ_t=σ_t*z_t et z_t∼N(0,1)
Le modèle GARCH donne σ_t²=α_0 + ∑α_iϵ_t−i² + ∑β_jσ_t−j² (i=1..q) (j=1..p)
Le plus utilisé en pratique est GARCH(1,1)
La théorie moderne du portefeuille est une théorie financière développée par Harry Markowitz. Elle expose comment des investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d'optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d'un actif étant donné son risque par rapport au risque moyen du marché. Cette théorie fait appel aux concepts de frontière efficiente, coefficient bêta, droite de marché des capitaux et droite de marché des titres.
Le modèle fait la double hypothèse que
-les marchés d'actifs financiers sont efficients. C'est l'hypothèse d'efficience du marché selon laquelle les prix et rendements des actifs sont censés refléter, de façon objective, toutes les informations disponibles concernant ces actifs.
-les investisseurs ont de l'aversion envers le risque : ils ne seront prêts à prendre plus de risques qu'en échange d'un rendement plus élevé. À l'inverse, un investisseur qui souhaite améliorer la rentabilité de son portefeuille doit accepter de prendre plus de risques. L'équilibre risque/rendement jugé optimal dépend de la tolérance au risque de chaque investisseur.
Selon le modèle :
Le rendement d'un portefeuille est une combinaison linéaire de celui des actifs qui le composent, pondérés par leur poids w_i dans le portefeuille: E(R_p)=∑W_i*E(R_i) = wᵀ * m ;
La volatilité du portefeuille est une fonction de la corrélation entre les actifs qui le composent : σ_p²=∑∑w_iw_jσ_iσ_jρ_ij = wᵀ * Σ * w avec Σ la matrice de covariance entre rendements des actifs
Un investisseur peut réduire le risque de son portefeuille simplement en détenant des actifs qui ne soient pas ou peu positivement corrélés, donc en diversifiant ses placements. Cela permet d'obtenir la même espérance de rendement en diminuant la volatilité du portefeuille.
Le problème d'optimisation du portefeuille revient à minimiser une fonction qui combine le risque (la variance du portefeuille) et le rendement, pondérés par un paramètre λ :
Minimize: (1/2) * wᵀ * Σ * w - λ * mᵀ * w
Sous les contraintes :
Σ w_i = 1 (tout le capital est investi)
w_i ≥ 0 (pas de short)
-
λ petit→ l’investisseur cherche uniquement à minimiser le risque -
λgrand → il cherche un rendement plus élevé, au prix d’un risque accru
Sur 8 actions du S&P 100, nous estimerons le portefeuille optimal.
Les actions choisies sont : Apple (technologie), Microsoft (technologie ), Johnson & Johnson (santé), McDonald's (restauration), Google (technologie), Disney (divertissement), Visa (services financiers), et Procter & Gamble (biens de consommation).
Le code est disponible sur markowitz_portfolio.ipynb , et les poids optimaux selon le rendement espéré sur optimal_weights.txt.